动态规划


Author: yifei / Created: May 30, 2017, 11:36 a.m. / Modified: May 30, 2017, 11:38 a.m. / Edit

如果每个阶段的决策都和状态无关,那么就是贪心算法

如果需要把整个解空间都遍历一遍,那么就是穷举

如果可一个根据上一步的结果的出下一步的结果,可以使用动态规划

以下转载自:https://www.zhihu.com/question/39948290/answer/155958549

1.动态规划是什么?

答:动态规划是一种通过“大而化小”的思路解决问题的算法。区别于一些固定形式的算法,如二分法,宽度优 先搜索法,动态规划没有实际的步骤来规定第一步做什么第二步做什么。所以更加确切的说,动态规划是一种 解决问题的思想。这种思想的本质是,一个规模比较大的问题(假如用2‑3个参数可以表示),是通过规模比 较小的若干问题的结果来得到的(通过取最大,取最小,或者加起来之类的运算)所以我们经常看到的动态规 划的核心——状态转移方程都长成这样:

2.动态规划面试考得多么?

答:多。并且越来越多。随着CS从业与求职者的增加,并伴随大家都是“有备而来”的情况下,一般简单的反转 链表之类的题目已经无法再在面试中坚挺了。因此在求职者人数与招聘名额的比例较大的情况下,公司会倾向 于出更难的面试问题。而动态规划就是一种比较具有难度,又比较“好出”的面试问题。相比其他的算法与数据 结构知识来说,贪心法分治法太难出题了,搜索算法往往需要耗费求职者过长的程序编写时间一般也不倾向于 出,二叉树链表等问题题目并没有那么多,而且求职者也都会着重准备这一块。因此动态规划这一类的问题, 便越来越多的出现在了面试中。

3.动态规划快在哪儿?

答:动态规划一般来说是“高效”的代名词,因为其解决的问题一般退而求其次的算法只有搜索了。以“数字三 角形”一题为例子(lintcode.com/problem/tr) ,在“三角矩阵”中找一条从上到下的路径,使得权值之和最 小。如果使用暴力搜索的算法,那么需求穷举出2^(n‑1)条路径(n为三角形高度),而使用动态规划的话,则 时间复杂度降低到了n^2,完成了质的飞跃。那么究竟为什么这么快呢?原因在于动态规划算法去掉了“无用和 重复的运算”。在搜索算法中,假如从A‑>B有2条路径,一条代价为10,另外一条代价为100,B‑>终点有1024 条路径。当我们选择了代价为10的那条路径走到B时,可以继续往下走完1024条路径到终点,但是在此之后, 我们再从代价为100的路径从A走到B时,我们可以发现此时无论如何走,都不可能有刚才从10的路径走过来更 好,所以这些计算是“无用”的计算,也可以说是“重复”的计算。这就是动态规划之所以“快”的重要原因。

4.学习动态规划有什么捷径?

答:我们将动态规划的常见类型分为如下几种: * 矩阵型 * 序列型 * 双序列型 * 划分型 * 区间型 * 背包型 * 状态压缩型 * 树型 其中,在技术面试中经常出现的是矩阵型,序列型和双序列型。划分型,区间型和背包型偶尔出现。状态压缩 和树型基本不会出现(一般在算法竞赛中才会出现)。 每种类型都有着自己的题目特点和状态的表示方法。以矩阵型动态规划为例,一般题目会给你一个矩阵,告诉 你有一个小人在上面走动,每次只能向右和向下走,然后问你比如有多少种方案从左上走到右下 (lintcode.com/problem/un)。这种类型状态表示的特点一般是使用坐标作为状态,如f[i][j]表示走到(i,j)这个位 置的时候,一共有多少种方案。状态的转移则是考虑是从哪儿走到(i,j)这个坐标的。而序列型的动态规划,一 般是告诉你一个序列;双序列的动态规划一般是告诉你两个字符串或者两个序列。 将所做过的动态规划问题按照这些类别进行归类,分析状态的表示方法和状态转移方程的构造方法在每种类型 中的近似之处,会让你更快的学会动态规划。

5.什么样的问题适合使用动态规划?

答:可以使用动态规划的问题一般都有一些特点可以遵循。如题目的问法一般是三种方式:

  1. 求最大值/最小值
  2. 求可不可行
  3. 求方案总数

如果你碰到一个问题,是问你这三个问题之一的,那么有90%的概率是使用动态规划来求解。 要重点说明的是,如果一个问题让你求出“所有的”方案和结果,则肯定不是使用动态规划。

6.解决一个动态规划问题的步骤是什么?

答:首先根据“问5”判断是否是动态规划的问题,如果是,则尝试将其按照“问4”进行分类,找到对应的类别和 相似的问题。接着从下面的4个要素去逐步剖析解决这道题:

  1. 状态是什么
  2. 状态转移方程是什么
  3. 状态的初始值是什么
  4. 问题要求的最后答案是什么

每个步骤分析完成之后,就基本上解决了整道动态规划的问题。

7.怎么优化动态规划的时间?

答:一般来说,使用动态规划求解的问题,时间上已经比暴力搜索要优化很多了。但是仍然存在着一些可以优 化的空间。通常来说,动态规划的时间优化,有如下两种常见的方式:

  1. 通过变换状态优化
  2. 通过决策单调优化

对于通过变换状态来优化的问题比较难,需要一些经验和灵感。而对于决策单调的优化,则比较简单,但适用 范围不广,一般只适用于划分型动态规划当中,通常这个方法可以将复杂度降低一个数量级。

8.怎样优化动态规划的空间?

答:动态规划的空间优化往往采用滚动数组优化。以一个二维的动态规划为例子。假如状态转移方程如下:

f[i][j] = f[i ‑ 1][j] + f[i][j ‑ 1]。

我们可以发现,第i层的状态,已经和第i‑2层的状态没有关系了,那么这种情况下,用于存储第i‑2层的空间就可以被重复利用。方法非常简单,把数组的第一维对2取模就可以了:

f[i % 2][j] = f[(i ‑ 1) % 2][j] + f[i % 2][j‑1]。

这种方法通常可以将空间复杂度降低一个数量级。

9.有什么书籍和参考资料可以推荐么?

著名的背包九讲: vdisk.weibo.com/s/tanGy (也可以直接在网上搜索背包九讲)

10.有哪些动态规划题目必须要练习的?

在LintCode上包含了30余道动态规划的练习题,都是从实际的面试问题中汇总的精选练习: lintcode.com/tag/dynami

所以,动态规划自学并不难,关键是你要掌握学习的方法。 如果你觉得我说的很有用,欢迎关注我的微信公众号:ninechapter,里面有海量的算法题等你领取~

基础介绍

http://www.hawstein.com/posts/dp-novice-to-advanced.html

数组分割问题

http://www.cnblogs.com/liyukuneed/archive/2013/05/27/3090454.html


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